Архив рубрики: Հանրահաշիվ 8-2

Վիետի թեորեմը

Հանրահաշիվ 8-2
Francois_Viete.jpeg

Ֆրանսուա Վիետ՝ (1540 -1603) ֆրանսիացի մաթեմատիկոս, կրթությամբ իրավաբան:

Այս թեորեմի միջոցով լուծում են քառակուսային հավասարումներ:

Առավել հարմար է Վիետի թեորեմը կիրառել բերված տեսքի հավասարումների (երբ a=1)

 Եթե x2+px+q=0 բերված տեսքի քառակուսային հավասարման տարբերիչը ոչ բացասական է, ապա՝

{x1⋅x2=q x1+x2=−p,

որտեղ x1 -ը և x2 -ը  x2+px+q=0 հավասարման արմատներն են:

Օրինակ՝

Լուծենք հետևյալ հավասարումը:

x2−14x+40=0,

{x1⋅x2=40 x1+x2=14

x1=10

x2=4

Վիետի թեորեմը տեղի ունի նաև ընդհանուր դեպքում, երբ a≠1

Եթե ax2+bx+c=0 քառակուսային հավասարման տարբերիչը ոչ բացասական է ապա՝ 

{x1⋅x2=c/a x1+x2=−b/a

որտեղ x1 -ը և x2 -ը ax2+bx+c=0 հավասարման արմատներն են:

Վիետի թեորեմի օգնությամբ, կարելի է կազմել քառակուսային հավասարումը, եթե հայտնի են նրա արմատները:

Օրինակ՝

Ո՞ր հավասարման արմատներն են 2 և −0,3 թվերը:

x2+px+q=0

2+(−0,3)=1,7=−p

2⋅(−0,3)=−0,6=q

Պատասխան՝ x2−1,7x−0,6=0 

Առաջադրանքներ․

Դասագիրք․

639 ա-դ, 640 ա-դ

Տնային աշխատանք․

639 ե,զ, 640 ե,զ

Թերի քառակուսային հավասարումներ

Հանրահաշիվ 8-2

Քառակուսային հավասարումը կոչվում է թերի, եթե b և c թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:

Եթե ax2+bx+c=0 տեսքի հավասարման մեջ a=0, այսինքն, չկա x2 պարունակող անդամը, ապա հավասարումը քառակուսային չէ:

Օրինակ՝

Լուծենք հետևյալ թերի հավասարումները՝

1) x2+3x=0

2) 2x2−8=0

3) 7x2=0

Լուծում.

1)

x2+3x=0

x(x+3)=0

x=0

x=−3

Պատասխան՝ x=0, x=−3

2)

2x2−8=0

x2−4=0

(x−2)(x+2)=0

x=2

x=−2

Պատասխան՝ x=2, x=−2

3)

7x2=0

x2=0

x=0

Պատասխան՝ x=0

Առաջադրանքներ․

600 ա-զ

Դասագիրք․

Տնային աշխատանք․

600 է-ժ

Քառակուսային եռանդամ

Հանրահաշիվ 8-2

ax2+bx+c տեսքի բազմանդամը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային եռանդամ:

Օրինակ՝

x2+2x−5,4x2−3x+1,x2+3x,2x2−8,7x2 բազմանդամները քառակուսային եռանդամների օրինակներ են:

a թիվը անվանում են ավագ անդամի՝  x2 -ու գործակից, b թիվը՝  x -ի գործակից, c -ն՝ ազատ անդամ:

Քառակուսային եռանդամի ուսումնասիրման հարցերում խիստ կարևոր դեր է խաղում հետևյալ թիվը՝ D=b2−4ac

D=b2−4ac թիվն անվանում են ax2+bx+c քառակուսային եռանդամի տարբերիչ կամ՝ դիսկրիմինանտ:

Քառակուսային եռանդամների ուսումնասիրման ամենակարևոր հարցերից են դրանց արտադրիչների վերլուծումը և ax2+bx+c=0 հավասարման լուծումը:

1) Եթե D>0, ապա քառակուսային եռանդամը վերլուծվում է երկու իրարից տարբեր գծային արտադրիչների: 

2) Եթե D=0, ապա քառակուսային եռանդամը վերլուծվում է երկու իրար հավասար գծային արտադրիչների: 

3) Եթե D<0, ապա եռանդամը չի վերլուծվում արտադրիչների:

ax2+bx+c=a⋅(x−x1)(x−x2),

որտեղ՝

x1=(−b+√D)/2a

x2=(−b-√D)/2a

Օրինակ`

1)Վերլուծենք արտադրիչների 2x2−3x+1 եռանդամը:  

Հաշվենք D=b2−4ac տարբերիչը՝ D=(−3)2−4⋅2⋅1=9−8=1>0

Ըստ բանաձևերի՝

x1=(3+√1)/2⋅2=1

x2=(3-√1)/2⋅2=1/2

Հետևաբար՝

2x2−3x+1=2(x−1)(x−1/2)

2) Դիտարկենք x2+6x+9 եռանդամը:

Հաշվենք եռանդամի տարբերիչը՝ D=62−4⋅1⋅9=36−36=0

Այն հավասար է զրոյի հետևաբար, եռանդամը վերլուծվում է երկու իրար հավասար  արտադրիչների: Դա կարելի է անել, օրինակ այսպես՝

x2+6x+9=x2+2⋅x⋅3+32=(x+3)2=(x+3)(x+3)

Կիրառեցինք քառակուսիների գումարի բանաձևը:

3) Դիտարկենք x2+2x+6 եռանդամը:

Հաշվենք եռանդամի տարբերիչը՝ D=22−4⋅1⋅6=4−24=−20<0

Այն բացասական է, հետևաբար, եռանդամը չի վերլուծվում արտադրիչների: 

Առաջադրանքներ․

Դասագիրք․

571, 572, 573

Տնային աշխատանք․

589, 590, 591

Քառակուսի արմատ պարունակող հավասարումներ։ Իռացիոնալ հավասարումներ

Հանրահաշիվ 8-2

Եթե հավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են իռացիոնալ: 

Դիտարկենք √2x+1=3 իռացիոնալ հավասարումը:

Ըստ քառակուսի արմատի սահմանման, այն նշանակում է, որ 2x+1=32: Փաստորեն, քառակուսի բարձրացնելով, տրված իռացիոնալ հավասարումը բերեցինք 2x+1=9 գծային հավասարմանը:

Դա բնական է, եթե պետք է ազատվել քառակուսի արմատի նշանից:

2x+1=9 հավասարումից ստանում ենք՝ x=4: Սա միաժամանակ 2х+1=9 գծային և √2x+1=3 իռացիոնալ հավասարումների արմատն է:

Քառակուսի բարձրացնելու եղանակը տեխնիկապես բարդ չէ իրականացնել, սակայն երբեմն այն բերում է անցանկալի իրավիճակների:

Օրինակ՝

Դիտարկենք √2x−5=√4x−7 իռացիոնալ հավասարումը:

Երկու մասերը բարձրացնելով քառակուսի, ստանում ենք՝ 

(√2x−5)2=(√4x−7)2

2x−5=4x−7

Լուծելով ստացված 2x−4x=−7+5 հավասարումը, ստանում ենք x=1

Սակայն x=1, որը 2x−5=4x−7 գծային հավասարման արմատն է, չի բավարարում տրված իռացիոնալ հավասարմանը: Ինչո՞ւ: Իռացիոնալ հավասարման մեջ x-ի  փոխարեն տեղադրենք 1, կստանանք՝  √−3=√−3

Հավասարումը բնականաբար չի բավարարվում, քանի որ հավասարության ձախ և աջ մասերը իմաստ չունեն:

Ստացել ենք ավելորդ արմատ: Այսպիսի իրավիճակներում ասում ենք, որ x=1 -ը թույլատրելի արժեք չէ, կամ չի պատկանում թույլատրելի արժեքների բազմությանը: Դուրս եկավ, որ այս դեպքում, իռացիոնալ հավասարումը արմատ չունի, մինչդեռ քառակուսի բարձրացնելուց ստացված գծային հավասարումը արմատ ուներ:

Իռացիոնալ հավասարումների համար, ստուգումը լուծման անհրաժեշտ փուլ է, որը օգնում է հայտնաբերել և դեն նետել ավելորդ արմատները: 

Այսպիսով, իռացիոնալ հավասարումը լուծելու համար պետք է՝

1) այն բարձրացնել քառակուսի,

2) լուծել ստացված հավասարումը,

3) կատարել ստուգում՝ դեն նետելով ավելորդ արմատները,

4) գրել վերջնական պատասխանը:

Օրինակ՝

Լուծենք √5x−16=2 հավասարումը:

1) Երկու մասերը բարձրացնենք քառակուսի՝ (√5x−16)2=22

2) Լուծենք ստացված հավասարումը՝

5x−16=4

5x=20

x=4

3) Կատարենք ստուգում: √5x−16=2 հավասարման մեջ տեղադրենք x=4: Ստանում ենք՝ √4=2 ճիշտ հավասարությունը:

4) Պատասխան՝ √5x−16=2 հավասարման լուծումը x=4 -ն է:

Առաջադրանքներ․

Լուծել հավասարումները․

Տնային աշխատանք․

Լուծեք հավասարումները․